Definición y ejercicios del Teorema de Tales
Si te estás preparando para presentar la Prueba de Acceso a la Educación Superior, conocer a fondo todos los temas, especialmente los de las pruebas obligatorias, será una de las herramientas que te ayudarán a alcanzar el mejor puntaje.
Por eso, en este blog te explicamos paso por paso el teorema de Thales, concepto fundamental para la prueba de matemática M1. Además, te dejamos algunos ejemplos y ejercicios que tienen una estructura y dificultad semejante a los de tu examen.
¿Qué es el Teorema de Tales?
Tales de Mileto fue un filósofo de la antigua Grecia que se enfocó en estudiar la naturaleza y la geometría. Entre sus principales aportaciones está el teorema de Thales, el cual es muy útil para encontrar la medida de los lados entre triángulos semejantes.
Los triángulos semejantes son aquellos cuyos ángulos internos tienen la misma medida. Por ejemplo, los siguientes triángulos tienen lados con medidas y disposiciones diferentes, pero con ángulos idénticos, por lo que son considerados semejantes.
- Imagen de triángulos semejantes
También observó que, si se traza una línea paralela dentro de un triángulo a cualquiera de sus lados, se forman dos triángulos semejantes, por lo que Tales encontró que el cociente que se obtiene al relacionar los lados del triángulo original con los lados del triángulo nuevo es el mismo.
En palabras simplificadas, el teorema de Thales explica que, al trazar una línea paralela al lado de un triángulo, el triángulo obtenido será semejante al original. Esto se expresa con la siguiente fórmula:
Fórmula del Teorema de Tales:
Si elegimos un lado del triángulo original y lo dividimos en el correspondiente del triángulo semejante, obtendremos el mismo valor que si elegimos otro de los lados y se divide en su equivalente.
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¿Para qué sirve el teorema de Thales?
El teorema de Thales es fundamental en la geometría y nos permite establecer relaciones entre los segmentos de un triángulo proporcionalmente. Es especialmente útil para calcular medidas de segmentos que se forman entre dos rectas cortadas por rectas paralelas.
Procedimiento para utilizar el teorema de Thales
Para utilizar el teorema de Thales, debemos establecer una ecuación con los cocientes de los lados cuyas medidas conocemos y luego igualarla con el cociente de los lados donde se encuentra el lado que queremos conocer.
Tomemos como ejemplo el siguiente caso:
- Conocemos la medida del lado CA correspondiente al triángulo exterior, que relacionaremos con el lado correspondiente del triángulo interior, CE.
- Esta expresión es igual a la división del lado desconocido AB entre el lado conocido DE.
- La ecuación queda de la siguiente forma: (CA/CE) = (AB/DE).
Para resolver la ecuación, sustituimos las incógnitas con los valores conocidos. Luego, despejamos la incógnita multiplicando por la medida conocida. Por ejemplo, si CA = 4,7 cm, podemos despejar AB multiplicando por 4,7 cm.
Ejemplo resuelto del teorema de Thales
Veamos un ejemplo práctico:
Tenemos dos rectas paralelas cruzadas por una tercera recta. Queremos calcular la medida del segmento «x». Según el teorema de Thales, podemos establecer la siguiente relación entre los segmentos:
(AC/CE) = (AB/ED) = (CB/DE)
Una vez que conocemos el valor de dos segmentos y sus respectivos cocientes, podemos despejar la incógnita y calcular la medida del segmento «x».
En resumen, el teorema de Thales es una herramienta valiosa en geometría que nos permite relacionar los segmentos de un triángulo proporcionalmente. Su aplicación es especialmente útil en el cálculo de medidas de segmentos entre rectas cortadas por rectas paralelas.
El Teorema de Tales y su aplicación en la medición indirecta de alturas
El Teorema de Tales es una herramienta fundamental en geometría que nos permite establecer relaciones entre segmentos de figuras semejantes. Su aplicación no solo se limita al ámbito educativo, sino que también tiene un amplio alcance en la resolución de problemas prácticos, como la medición indirecta de alturas de estructuras de gran tamaño.
Relación entre los segmentos «x» e «y»
El Teorema de Tales establece que si consideramos dos segmentos «x» e «y», que forman parte de un segmento más grande de longitud conocida (en este caso, 6,3 km), se establece una relación de proporcionalidad entre los cocientes de los lados opuestos de los segmentos.
Para resolver la ecuación correspondiente, podemos expresar «y» en términos de «x» considerando que:
- x + y = 6,3 km
- y = 6,3 km – x
Al sustituir la expresión anterior en la relación original, obtenemos una ecuación en términos de «x»:
- x / (6,3 km – x) = x / y
Si conocemos la medida del segmento «x» (2,6 km en este caso), podemos encontrar la medida del segmento «y» restando la medida de «x» a la longitud total:
- y = 6,3 km – 2,6 km = 3,7 km
Aplicación del Teorema de Tales para medir alturas
Una aplicación común del Teorema de Tales es la medición indirecta de alturas de estructuras de gran tamaño. Por ejemplo, para determinar la altura de la Gran Pirámide de Guiza en Egipto, se puede utilizar la longitud de la sombra proyectada por la pirámide y compararla con la sombra proyectada por algún objeto de altura conocida.
Imaginemos que utilizamos una palmera de 4 metros de altura. Si la sombra proyectada por la pirámide es de 300 metros y la sombra de la palmera es de 8,6 metros, podemos establecer la siguiente proporción:
- Altura de la pirámide / Altura de la palmera = Sombrade la pirámide / Sombrade la palmera
- Altura de la pirámide / 4 metros = 300 metros / 8,6 metros
Al multiplicar el resultado obtenido al dividir 300 por 8,6 por 4, encontramos la altura de la pirámide:
- Altura de la pirámide = (300 m / 8,6 m) * 4 m = 131,16 metros
Esperamos que estos ejemplos te hayan ayudado a repasar el tema del Teorema de Tales y te sientas más seguro(a) para enfrentar cualquier problema que involucre su aplicación. ¡Recuerda seguir preparándote con recursos en línea y midiendo tu nivel académico para tener éxito en tus desafíos educativos!
Ejercicios de teorema de Tales
Ahora que tienes esta información, repasar con ejercicios extra te ayudará a mejorar tu desempeño en matemáticas. Aquí te dejamos tres modelos de preguntas para la PAES obligatoria M1.
Copia las preguntas en una hoja e intenta resolverlas por tu cuenta. Al final de este blog, encontrarás las respuestas correctas.
Pregunta 1:
En un triángulo ABC, se traza una recta paralela al lado BC que divide al lado AB en dos segmentos de longitudes 5 cm y 2,5 cm respectivamente. Si el segmento AC mide 4 cm, ¿cuánto mide el segmento BC?
- a) 5 cm
- b) 2,5 cm
- c) 4 cm
- d) 3 cm
Pregunta 2:
En un triángulo ABC, se traza una recta paralela al lado AC que divide al lado AB en dos segmentos de longitudes 3,0 cm y 3,5 cm respectivamente. Si el segmento BC mide 3,2 cm, ¿cuánto mide el segmento AC?
- a) 3,0 cm
- b) 3,5 cm
- c) 3,2 cm
- d) 3,8 cm
Pregunta 3:
¿Cuál es la altura de una pared que proyecta una sombra de 15 metros de largo si al mismo tiempo un bastón de 30 cm clavado de forma perpendicular en el suelo proyecta una sombra de 20 cm?
- a) 200 m
- b) 25,5 m
- c) 22,5 m
- d) 20 m
Recuerda que, para lograr obtener un puntaje en tus PAES que te permita acceder a las universidades que quieres, necesitas prepararte adecuadamente y utilizar con recursos útiles y efectivos. Comienza a armar tu calendario de estudio y haz una planeación que se pueda ajustar a tus necesidades y tiempos.
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