Entendiendo las Transformaciones Isométricas
Comprender el tema de las transformaciones isométricas es esencial, no solo para aprobar la PAES, sino también para avanzar en conceptos más avanzados de Geometría. En este blog, te explicaremos paso a paso este tema, proporcionándote ejemplos y ejercicios que te ayudarán a comprenderlo mejor.
No olvides revisar también los demás temas de la prueba obligatoria de Matemáticas 1, de manera que puedas estudiar cada uno de ellos con el suficiente tiempo. Esto te permitirá obtener mejores resultados y conseguir el puntaje más alto posible.
¿Qué son las transformaciones isométricas?
Las transformaciones isométricas son transformaciones que pueden experimentar los cuerpos geométricos dentro de un plano. Este conocimiento es útil para copiar, invertir, reflejar, incrementar o disminuir el tamaño de figuras, con el fin de diseñar logotipos, modelos arquitectónicos o para la creación artística en general, ya que proporcionan una sensación de armonía estética.
A continuación, analizaremos las tres tipos principales de transformaciones isométricas, en las cuales una figura puede cambiar sin que se alteren sus dimensiones. Estas son: traslación, rotación y reflexión.
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Traslación isométrica
La traslación isométrica es la transformación más sencilla, ya que la figura simplemente cambia de posición. El desplazamiento se puede representar mediante un vector, que indica la dirección, magnitud y sentido de la transformación. Todos los puntos que conforman la figura se desplazan utilizando este vector.
Veamos el siguiente ejemplo, donde el triángulo ΔABC se trasladará utilizando el siguiente vector:
Vector de traslación: (1, 3)
Traslación isométrica
Para realizar la traslación isométrica, primero debemos ubicar las coordenadas de los vértices de la figura original. Luego, utilizaremos un vector de traslación para mover cada punto.
El vector de traslación tiene componentes 1 en «x» y 3 en «y». Ahora, sumaremos 1 a la coordenada «x» y 3 a la coordenada «y» de cada punto para obtener las coordenadas de los vértices de la figura trasladada.
Una vez que hemos ubicado los puntos, simplemente debemos unirlos para obtener la figura trasladada.
Rotación isométrica
En la rotación isométrica, la figura se mueve en un ángulo de giro con respecto a un punto llamado centro de rotación.
Para realizar la rotación, necesitamos un ángulo y un punto de referencia. Por ejemplo, vamos a rotar el ángulo ΔDEF 30° respecto al punto O.
Para lograrlo, debemos rotar los vértices de la figura original uno por uno. El procedimiento es el siguiente:
1. Traza una recta desde el punto «D» hasta el centro de rotación «O».
2. Luego, traza una línea que parta del punto «O» y que tenga el ángulo de giro adecuado (en este caso 30°).
3. Mide la distancia entre los puntos «D» y «O». Utiliza esta medida en la recta que rotaste para ubicar el punto correspondiente en la figura rotada.
Repetición de la figura rotada con las mismas dimensiones
En la figura anterior, podemos observar que la distancia entre los puntos de la figura original y el centro de rotación «O» se mantiene con los puntos que forman la figura rotada. Esto significa que el triángulo ΔDEF tiene las mismas dimensiones que el triángulo ΔD’E’F’.
Reflexión de una figura o simetría axial
La simetría axial es un tipo de reflexión isométrica donde la figura se invierte (o refleja) respecto a una recta llamada eje de simetría. Para realizar una reflexión axial, se deben trazar rectas perpendiculares al eje de simetría en cada uno de los vértices de la figura.
Por ejemplo, consideremos la siguiente figura respecto al eje «L».
- Traza rectas perpendiculares entre los vértices y el eje de simetría.
- Mide las distancias entre cada vértice y el eje de simetría. Utiliza estas medidas para trazar los puntos del lado reflejado.
- Finalmente, une los puntos para formar la figura reflejada.
Es importante recordar que, en una reflexión axial, la forma y las dimensiones de la figura original se mantienen, pero la posición de los puntos se invierte con respecto al eje de simetría.
Ejercicios de transformaciones isométricas
Para mejorar tu comprensión sobre transformaciones isométricas, te recomendamos practicar con ejercicios. Aquí te dejamos uno para empezar:
Ejercicio 1:
¿Cuáles son los componentes del vector de traslación que transforma a la figura A en la figura A’?
Ejercicio 1: Coordenadas
- v=(1,5)
- v=(-5,-6)
- v=(-4,-4)
- v=(5,3)
Ejercicio 2: Transformaciones isométricas
Observa la siguiente imagen, creada por el artista M. C. Escher (1898 – 1972), e identifica qué tipo de transformaciones isométricas se presentan:
- Traslación
- Rotación
- Reflexión
- Todas las anteriores
Ejercicio 3: Reflexión
Si se aplica la transformación isométrica de reflexión a la siguiente figura, ¿qué coordenada le corresponderá al punto B’?
- (-4,-2)
- (5,2)
- (6,2)
- No se puede reflejar
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