El objetivo de este blog es abordar el tema de las matemáticas financieras, una disciplina que se enfoca en el estudio de las variaciones cuantificables que ocurren en los capitales financieros durante un período de tiempo. En este artículo, exploraremos su aplicación en el ámbito de las finanzas.
Las matemáticas financieras se encargan del análisis de las operaciones financieras que involucran intercambio de flujos de dinero susceptibles de sufrir cambios en su valor a lo largo del tiempo, debido al efecto de los intereses generados por el tiempo transcurrido desde la fecha de inversión.
¿Qué se entiende por matemáticas financieras?
Es de conocimiento general que el valor del dinero se deprecia con el tiempo. Por ejemplo, una cantidad determinada que se reciba en el futuro perderá su poder adquisitivo debido a la inflación. Incluso en ausencia de inflación, el dinero futuro tendría menos valor que el dinero presente, ya que los consumidores prefieren utilizar el dinero en el presente en lugar de hacerlo en el futuro, teniendo la posibilidad de invertir sus recursos en proyectos que generen un rendimiento real.
En el caso del interés simple, este se calcula siempre sobre el valor inicial o el capital invertido. Es decir, en cada período, el interés es igual al valor inicial multiplicado por la tasa de interés.
En resumen, los principales temas que abarcan las matemáticas financieras son:
- Anualidades
- Depreciación de costos
- Amortización de créditos
- Intereses y descuentos simples
Para realizar esta operación necesitas estos elementos:
- C- Es el capital que se invierte.
- t- Se refiere al tiempo
- M- Aquí encontramos el monto, equivalente al capital, sumándole los intereses.
En la ecuación anterior, nos referimos al monto como valor futuro, por referirse a la cantidad de dinero que alcanzara una inversión en alguna fecha futura, por ser la cantidad de dinero que permitirá alcanzar una inversión en una fecha futura al generar intereses a alguna tasa simple.
Por otro lado, el valor presente es un mecanismo de valoración de activos, su cálculo consiste en el descuento del flujo futuro a una tasa de rentabilidad ofrecida por diferentes alternativas de inversión comparables, generalmente denominada costo de capital, de esta manera el valor presente equivale al capital invertido, por lo que puede ser estimado con la siguiente ecuación
Interés Compuesto: el dinero y el tiempo son dos factores que se encuentran ligados con la vida de las personas y con los negocios. Cuando ocurren excedentes de efectivo, se ahorran durante un tiempo determinado, a fin de ganar un interés que aumente tu capital original.
Los temas que tratan las matemáticas financieras son los siguientes: interés, descuentos simples, anualidades, amortización de créditos, depreciación de costos.
Clasificaciones de las matemáticas financieras
Dentro de las matemáticas se estudian las operaciones financieras simples y las complejas, la definición es la siguiente:
- Simple: Analiza los dineros que provienen de un solo capital (Denominados intereses).
- Complejas: Analiza los dineros que provienen de más de un capital (Denominadas Rentas).
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Otra clasificación de las operaciones financieras se basa en la temporalidad y se pueden distinguir dos grandes principios:
- Principio de Capitalización: Se aplica cuando se tienen flujos en el presente y se desea conocer su valor en el futuro.
- Principio de Descuento: Se utiliza cuando se conocen los flujos futuros y se quiere determinar su valor actual.
La importancia de analizar estas corrientes se basa en el hecho de que el dinero pierde valor con el tiempo. ¿Alguna vez has notado cómo el precio de un paquete de papas fritas ha aumentado de $200 a $500? Algunas personas lo atribuyen a la «inflación», aunque no es la única razón.
Además, existe un concepto llamado «Costo de Oportunidad», que se refiere a lo que se sacrifica al elegir disponer de los flujos en un contexto determinado en lugar de otro. Por ejemplo, si tienes $100,000 hoy en día, puedes gastarlos en una fiesta o invertirlos y recibir $105,000 en dos meses. Si eliges la primera opción, el costo de oportunidad sería renunciar a esos $5,000 de ganancia. Si eliges la segunda opción, el costo de oportunidad estaría en no realizar la celebración.
Las matemáticas financieras se utilizan para analizar flujos de efectivo y ajustarlos en función de la inflación y el costo de oportunidad temporal. Este concepto se conoce como «pérdida de valor en el tiempo» y se rige por principios elementales:
- Entre dos flujos de igual valor pero en momentos diferentes, se prefiere el de menor tiempo.
- Entre dos flujos de diferentes montos pero en el mismo momento, se prefiere el de mayor valor.
Todas estas bases y principios se utilizan para comparar flujos de efectivo que, debido al factor tiempo, no pueden ser comparables directamente. Por ejemplo, si tienes $100,000 hoy en día y $100,000 en 2 años, nominalmente sigue siendo la misma cantidad, pero su valor es más alto hoy en día, ya que lo que se puede adquirir con ese monto es mayor que lo que se podrá obtener en el futuro. Por lo tanto, las matemáticas financieras desempeñan un papel fundamental en estas situaciones.
¿Cuáles son las herramientas de las matemáticas financieras?
- Valor actual neto
- Valor tiempo del dinero
- Anualidades
- Capitalización continua
- Convertibilidad de tasas
- Probabilidad
- Distribución de probabilidad
- Distribución log-normal
- Distribución binomial
- Valor esperado
- Cálculo estocástico
- Medida neutral al riesgo
- Movimiento browniano
- Lema de Itô
- Teorema de Girsanov
- Derivado Radon-Nikodym
- Método de Montecarlo
- Ecuaciones diferenciales parciales
- Fórmula de Feynman-Kac
- Fórmula de Dynkin
- Volatilidad
- Modelo ARCH
- Modelo GARCH
- Modelo matemático
- Análisis numérico
- Fórmula Brayan Ufre
- Modelo de Black
- Modelo de Black-Scholes
- Modelo binomial de opciones
- Volatilidad implícita
- Sonrisa de volatilidad
- Griegas (finanzas)
Matemáticas Financieras: Operaciones Financieras Simples
También conocidas como operaciones financieras simples, analizan los flujos de un solo capital, los cuales pueden ser simples o compuestos. Estas operaciones permiten calcular el valor futuro de un capital en un determinado periodo de tiempo. En el corto plazo y de mutuo acuerdo, se utiliza la capitalización simple, donde los flujos futuros (llamados intereses) no se suman al capital. La fórmula utilizada es la siguiente:
M = Monto, que representa el valor final del capital a evaluar.
Por ejemplo, si se tiene un capital de $100 y se quiere conocer el monto a 6 meses, asumiendo una tasa de interés del 5% mensual, aplicando la fórmula anterior, se obtiene el siguiente resultado:
En este caso, se entiende que los $100 a seis meses, con todas las condiciones pactadas, generarán un monto final de $130.
En el caso del interés compuesto, se utiliza a largo plazo (aunque también se puede utilizar a corto plazo) y se caracteriza por acumular los intereses generados en cada periodo, convirtiéndolos en parte del capital. Utilizando el mismo ejemplo anterior, se puede demostrar que el resultado será mayor. La fórmula utilizada es la siguiente:
Aplicando esta fórmula a nuestro caso, el resultado es el siguiente:
El diferencial de $4 corresponde al hecho de que el interés del mes 1 se convierte en capital para el mes 2, y así sucesivamente.
También es importante destacar que estas fórmulas permiten calcular valores futuros, pero también existe el concepto de descuento, el cual permite calcular valores pasados. La fórmula utilizada es la siguiente:
Matemáticas Financieras: Operaciones Financieras Complejas
También conocida como renta, este concepto analiza diversos capitales y diferentes períodos de tiempo. Debido a su complejidad, abordaremos este tema en otro blog. Sin embargo, hoy mencionaremos algunos aspectos a tener en cuenta para este tipo de operaciones:
- La renta puede ser temporal (con un período determinado) o perpetua (sin período definido).
- La renta se puede clasificar como vencida (el pago o cobro se realiza después de una fecha indicada) o anticipada (se realiza antes de una fecha indicada).
- El pago puede ser inmediato o diferido (la obligación o el derecho se registran en el presente a pesar de que el pago o cobro se realizará en el futuro). Algunas fórmulas aplicables son las siguientes:
Matemáticas financieras: Términos más utilizados
Cuando se estudian las matemáticas financieras, existen ciertos términos que se utilizan con más frecuencia que otros. Es importante comprender la jerga de las matemáticas. Algunos de estos términos incluyen:
- Derivados climáticos: se refiere a productos financieros cuyos flujos están relacionados con eventos climáticos, generalmente aplicados a empresas agrícolas y turísticas.
- Derivados de crédito: se refiere a productos cuyos flujos dependen de eventos relacionados con el crédito.
- Intereses de préstamos bancarios: los préstamos varían en función del costo del dinero y del riesgo de impago por parte del prestatario.
- Costo del dinero: solicitar un préstamo implica un costo que se basa en la curva de tipos de interés, que varía según la moneda y es fijada por el mercado.
- Costo del riesgo: el sector bancario compensa el riesgo de impago mediante una hipoteca o una prima de riesgo adicional.
- Intereses: en las matemáticas financieras se aplican dos tipos de intereses: el interés simple (calculado sobre el capital inicial total) y el interés compuesto (calculado sobre el capital inicial y los intereses generados por la inversión).
Matemáticas Financieras: Conclusiones
Las matemáticas financieras son fundamentales para las finanzas en general.
Sin las matemáticas financieras, no existirían herramientas valiosas como el VAN, la TIR, las tablas de amortización para los préstamos bancarios, entre otras, que nos permiten determinar si una inversión es rentable.
¿Cómo invertir desde Chile?
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