El objetivo de este blog es educar al lector sobre un modelo llamado cartera eficiente de Markowitz. Antes de profundizar en el modelo en sí, es importante familiarizarse con los conceptos fundamentales de la gestión de inversiones.

En el ámbito de las finanzas, existen dos variables clave para evaluar las inversiones: el riesgo y el rendimiento. Cuando se invierte en el mercado de capitales, se debe tener en cuenta que a mayor ganancia esperada, mayor riesgo se debe asumir. Esto se debe a que las inversiones más arriesgadas tienden a ofrecer mayores ganancias potenciales. Sin embargo, también es posible que el factor psicológico juegue en contra, ya que el riesgo elevado puede generar incertidumbre y afectar la capacidad para dormir tranquilamente. Por lo tanto, las finanzas analizan diferentes alternativas y supuestos, y es aquí donde surge la teoría de carteras de inversión, basada en el conocido refrán «no es bueno poner todos los huevos en la misma canasta».

Teoría de Portafolio de Markowitz: Concepto

La teoría de carteras de inversión es una aplicación de estadística, específicamente de distribución normal. A partir de estos modelos y algunos supuestos adicionales, se desarrollan teorías de carteras de inversión.

• Primero: Cada acción o título tiene un rendimiento promedio, que se calcula aplicando una distribución normal estadística. Este rendimiento esperado es una estimación de las potenciales ganancias basadas en el promedio de todas las posibles simulaciones del título. Estadísticamente, se conoce como «esperanza».
• Segundo: Independientemente de la cantidad de simulaciones, los diferentes escenarios pueden dispersar el promedio, lo que se denomina «varianza». La raíz cuadrada de la varianza nos da la «desviación estándar», que representa el riesgo del título evaluado.

¿Cómo funciona la teoría de portafolio?

La idea principal de la teoría moderna del portafolio de Markowitz es que la relación entre el riesgo y el rendimiento de un activo financiero no debe evaluarse de forma individual, sino considerando el contexto y la relación en el conjunto de la cartera. Esta teoría demuestra que es posible construir una cartera diversificada con distintos activos para aumentar el rendimiento esperado para un nivel de riesgo determinado. Si se espera un rendimiento objetivo, los inversores pueden construir una cartera que minimice los riesgos asociados a ese rendimiento.

Para lograr esto, medidas como la correlación y la varianza permiten construir carteras con menos riesgo en comparación con la selección individual de activos.

¿Cuál es la utilidad de la teoría de portafolio de Markowitz?

En muchas ocasiones, tanto inversores como inversores expertos, se encuentran abrumados por la amplia gama de opciones disponibles para invertir. La teoría del portafolio propuesta por Markowitz, nos ayuda enormemente al permitirnos crear carteras con menor riesgo, basadas en la relación óptima entre riesgo y rentabilidad.

Esta teoría se basa en la premisa de que los inversores siempre prefieren una cartera con el menor riesgo posible, dada una determinada rentabilidad. Gracias a los métodos matemáticos y lógicos de esta teoría, todos los inversores podemos diseñar una cartera ideal que se ajuste al nivel de riesgo y rentabilidad más adecuado.

Ejemplo de la teoría del portafolio de Markowitz

A continuación se presenta la siguiente información sobre la empresa «WWE», analizando su precio el 05-09-2014 y simulando posibles escenarios futuros en caso de un auge económico, una situación en la que la economía no varíe y una recesión económica:

Precio Actual	US $14,76	05-09-2014	Fecha
Economía	Precio de la Acción	Prob. Ocurrencia	Retorno Esperado
Auge	US $15	20%	1.626%
Esperado	US $14,9	50%	0.949%
Recesión	US $14,5	30%	-1.762%

Si queremos calcular el retorno esperado de esta acción, utilizamos la fórmula estadística de la esperanza:

Xi: Retorno esperado del escenario para el título a analizar

Aplicando la fórmula a los datos iniciales, el resultado es el siguiente:

Con este cálculo, determinamos que según los escenarios esperados, el precio de la acción de WWE Inc aumentará un 0,2711%. Esto significa que si usted compró una acción a $14,76, el precio al final del período debería ser de $14,8 ($14,76 * 0,2711% + $14,76).

En el caso de esta acción, también debemos evaluar el riesgo potencial. La fórmula estadística que nos ayuda a determinar el riesgo es la desviación estándar, que es la raíz cuadrada de la varianza. La varianza, como medida de dispersión, analiza la cantidad y magnitud de las desviaciones de la media (la rentabilidad esperada). Si no hubiera desviación de la media, no habría riesgo y la ganancia sería fija, pero sabemos que esto no ocurre en este tipo de activos. La fórmula matemática para calcular la varianza es:

Xi: Retorno Esperado del Escenario para el título a analizar.

E(X): Retorno esperado del título promedio en todos sus escenarios (en este caso 0.2711%).

Al aplicar la fórmula a los datos iniciales, el desarrollo y resultado serían los siguientes:

El resultado nos muestra un grado de dispersión de 0.0001837. Si le calculamos la raíz cuadrada, obtenemos el riesgo del título, que en este caso es aproximadamente 0.014. Expresado de forma porcentual, esto significa que el riesgo del título «WWE» es del 1.14%.

Es comprensible que este tipo de activos presente riesgos debido a las variables económicas y de mercado que pueden afectarlo. Por esta razón, surge la importancia de la diversificación de cartera, con el objetivo de invertir en una cartera donde las variables perjudiquen a un título y beneficien a otros, minimizando así el riesgo no sistemático.

Teoría de Portafolio de Markowitz: Aplicación

Harry Markowitz recibió el premio Nobel de Economía en 1990. En 1952, publicó un artículo titulado «Selección de Portafolio», donde expuso que con la observación, la experiencia y las expectativas de inversión futuras, es posible construir carteras de inversión. Esta teoría fue desarrollada aún más con la frontera eficiente, que utiliza la varianza de dos activos para determinar la proporción exacta de inversión en cada uno, de manera que el riesgo de la cartera sea mínimo. La fórmula de Markowitz utilizada para determinar el porcentaje de inversión en cada título es la siguiente:

El resultado de esta fórmula nos proporcionará el porcentaje exacto a invertir en el título «WWE» para minimizar el riesgo de la cartera. Para aplicar esta fórmula, agregaremos los siguientes datos de la empresa «Mattel»:

Título	Mattel inc
Retorno Esperado	0,40%
Varianza	0,0002
Covarianza WWE-MATTEL	-0,5

La fórmula mencionada anteriormente, utilizando los datos de ambos activos, se aplicaría de la siguiente manera:

De acuerdo con los cálculos de esta fórmula, se recomienda invertir un 50% en WWE. Para simplificar la aplicación del módulo, la teoría de Markowitz establece que el 100% de los flujos disponibles deben ser invertidos. Por lo tanto, si invertimos un 50% en WWE, deberíamos invertir también un 50% en Mattel. Una vez determinados estos porcentajes, debemos obtener el promedio ponderado para obtener la rentabilidad esperada de la cartera.

El resultado de la fórmula es de 0.33555%, lo cual significa que esta cartera tiene un riesgo menor que WWE y Mattel (con una desviación estándar de 1.41% para Mattel). Por otro lado, si queremos determinar la varianza de ambos activos juntos, deberíamos utilizar la siguiente fórmula:

Aplicando la fórmula con nuestros datos, obtenemos el siguiente resultado:

Esto indica que el grado de dispersión de esta cartera es de 0.9073800792. Su raíz cuadrada determina que el riesgo de esta cartera es de aproximadamente 0.95%. Esto cumple con la hipótesis de Markowitz de que dos activos con una correlación diferente (visualizada en la covarianza negativa) producirían una sinergia, es decir, un mayor valor que en este caso se traduce en un menor riesgo en comparación con invertir en cada uno por separado.

Conclusiones de la Teoría de Portafolio de Markowitz

Las conclusiones de la teoría de portafolio de Markowitz son las siguientes:

• El modelo presenta la falencia de que se debe invertir el 100% de los recursos disponibles para llevar a cabo el análisis, lo cual no siempre es posible en la práctica, ya que los inversionistas pueden preferir guardar sus flujos en otro lugar o gastarlos. Sin embargo, en términos de costo-beneficio, este modelo cumple con los requisitos.
• Este modelo nos ayuda a comprender que las estadísticas son una herramienta poderosa en el mundo de las finanzas, por lo que es necesario dominarlas.
• La diversificación es sumamente importante, ya que el riesgo debe ser un factor que se analice detalladamente. Controlar los riesgos permite que los ingresos fluyan de manera más segura.